高中弦长公式

高中数学中，弦长公式通常用于计算直线与圆锥曲线（如圆、椭圆、双曲线）相交所得的弦长。以下是几种常见情况的弦长公式：

如果直线 \（ l \）的方程为 \（ y = kx + b \），与圆 \（ C \）相交于点 \（ A（x_1, y_1） \）和 \（ B（x_2, y_2） \），则弦长 \（ |AB| \）可以通过以下公式计算：

\[ |AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2| \]

如果直线 \（ l \）的方程为 \（ y = kx + b \），与椭圆 \（ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \）相交于点 \（ A（x_1, y_1） \）和 \（ B（x_2, y_2） \），则弦长 \（ |AB| \）可以通过以下公式计算：

\[ |AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \sqrt{（x_1 + x_2）^2 - 4x_1x_2} \]

如果直线 \（ l \）的方程为 \（ y = kx + b \），与抛物线 \（ y^2 = 4ax \）相交于点 \（ A（x_1, y_1） \）和 \（ B（x_2, y_2） \），则弦长 \（ |AB| \）可以通过以下公式计算：

当直线过焦点时：

\[ |AB| = x_1 + x_2 + p \]

当直线不过焦点时：

\[ |AB| = x_1 + x_2 - p \]

其中 \（ p \）是抛物线的准线到焦点的距离。

以上公式适用于不同的圆锥曲线和直线斜率 \（ k \）的情况。需要注意的是，这些公式是在特定的几何条件下推导出来的，使用时需要确保条件符合。