考研常用不等式公式

考研常用不等式公式

考研中常用的不等式公式包括但不限于以下几种：

AM-GM不等式（算术平均-几何平均不等式）

对于任意非负实数 \（a_1, a_2, \ldots, a_n\），有

\[

\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n}

\]

Cauchy-Schwarz不等式

设有两组实数 \（a_1, a_2, \ldots, a_n\） 和 \（b_1, b_2, \ldots, b_n\），则

\[

（a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n）^2 \leq （a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2）（b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2）

\]

乘积和差、和差的平方不等式

\（（a + b）^2 \geq 4ab\）

\（（a - b）^2 \geq 0\）

\（（a + b）（a - b） \leq a^2 + b^2\）

\（（a + b）^2 + （a - b）^2 = 2（a^2 + b^2）\）

Schur不等式

设有非负实数 \（a, b, c\） 和正整数 \（k\），则有

\[

a^k （a - b）（a - c） + b^k （b - a）（b - c） + c^k （c - a）（c - b） \geq 0

\]

Jensen不等式

设 \（f（x）\） 是定义在区间 \（[a, b]\） 上的凸函数，\（x_1, x_2, \ldots, x_n\） 为 \（[a, b]\） 上的任意 \（n\） 个实数，\（w_1, w_2, \ldots, w_n\） 为任意 \（n\） 个非负实数使得 \（w_1 + w_2 + \ldots + w_n = 1\），则有

\[

w_1 f（x_1） + w_2 f（x_2） + \ldots + w_n f（x_n） \geq f（w_1 x_1 + w_2 x_2 + \ldots + w_n x_n）

\]

伯努利不等式

设 \（h > -1\），\（n \in \mathbf{N}^*\），则

\[

（1 + h）^n \geq 1 + nh

\]

当 \（n > 1\） 时，等号成立。

这些不等式在解决一些最优化问题时非常有用，例如在证明函数的极值、计算向量的内积等。掌握这些不等式对于考研数学的解题至关重要。