高中tan公式证明

高中tan公式证明

高中数学中关于正切（tan）的公式有多个，下面我将列举一些重要的正切公式及其证明方法：

正切和角公式

公式：

$$

\tan（\alpha + \beta） = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}

$$

证明：

1. 使用正弦和余弦的和角公式：

$$

\sin（\alpha + \beta） = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta

$$

$$

\cos（\alpha + \beta） = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta

$$

2. 将上述两式分别除以$\cos\alpha\cos\beta$：

$$

\tan（\alpha + \beta） = \frac{\sin（\alpha + \beta）}{\cos（\alpha + \beta）} = \frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}

$$

3. 化简得：

$$

\tan（\alpha + \beta） = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}

$$

正切半角公式

公式：

$$

\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}

$$

证明：